Modelos atómicos. Parte III

 MODELOS ATÓMICOS. PARTE III

Habíamos comentado que Bohr combinó principios de la física clásica con principios de la  mecánica cuántica para sugerir que solamente estados con ciertos valores especiales de energía son estables. Sugirió que el momento angular del electrón en un estado permitido debe ser un múltiplo entero de h/2π. 

 La teoría de de Broglie sirvió de inspiración a Schrödinger para crear la mecánica ondulatoria. Schrödinger sugirió que el movimiento de los electrones en el átomo correspondía a la dualidad onda-partícula, y unifica el comportamiento corpuscular y ondulatorio de la materia. Propone dos ecuaciones diferenciales parciales no relativistas denominadas ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. 

 La primera ecuación fue desarrollada primero que la segunda, y relaciona la función de onda, con la energías total y potencial de la partícula, la masa y la variación de la función de onda con la posición. 

Las energía potencial V(x,y,z), la energía total E(x,y,z), la variación de la función de onda con la posición  ∂²Ψ(x,y,z) /∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z² y la función de onda Ψ(x,y,z) dependen de las coordenadas, pero son independientes del tiempo. 

La ecuaciónn de Schrödinger independiente del tiempo en una dirección (dirección x) toma la siguiente forma. 

 ∂²Ψ(x)/∂x² + (8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0

Haciendo ħ = h/2π

∂²Ψ(x)/∂x² + (2m/ħ²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0

El significado físico Ψ(x) no es claro. Schrödinger interpretó el término eΨ(x).Ψ*(x) dx (e es la carga fundamental) como la cantidad de carga entre x y x + dx. Max Born interpretó Ψ(x).Ψ*(x) o Ψ²(x) como la probabilidad de que una partícula esté localizada entre x y x + dx (Ψ*(x) es el conjugado de Ψ(x)). En la actualidad, se acepta el punto de vista dado por Born. 

La ecuación se aplica a problemas de una dimensión como, por ejemplo, partículas confinadas a moverse en una caja, partícula en un anillo, oscilador armónico... También se aplica a problemas de tres dimensiones como, por ejemplo, particulas moviéndose en una caja tridimensional, momento angular, átomo de hidrógeno, rotador rígido, entre otros. 

La segunda ecuación de Schrödinger se conoce como la ecuación fundamental de la mecánica ondulatoria, y relaciona la función de onda Ψ(x,y,z,t) dependiente de posición y tiempo con la energía potencial dependiente de posición y tiempo V(x,y,z,t)  y la variación de la función de onda con la posición y el tiempo ∂Ψ(x,y,z,t)/∂t. Posee una parte imaginaria. 

Mediante operaciones matemáticas apropiadas la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo conduce a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. 

La siguiente ecuación corresponde a la ecuación de Schrödinger en una dirección y dependiente del tiempo. 

 -(h²/8π²m)[∂²Ψ(x,t)/∂x²] +V(x,t)Ψ(x,t) = - (h/2πi)∂Ψ(x,t)/∂t 

Haciendo ħ = h/2π

-(ħ²/2m)[∂²Ψ(x,t)/∂x²] +V(x,t)Ψ(x,t) = - (ħ/i)∂Ψ(x,t)/∂t 

 

 En la misma época, Heisenberg, Born y Jordan utilizando álgebra de matrices crearon la mecánica cuántica. La mecánica ondulatoria y la mecánica cuántica son matematicamente equivalentes.

Podemos obtener la ecuación de Schrödinger en una dirección e independiente del tiempo operando de la siguiente manera. 

 Una cuerda con movimiento vibratorio armónico simple en una dirección presenta la siguiente ecuación de onda. 

 Ψ(x) = Asen(2πx/λ) (1) 

A es la amplitud de la onda. 

sen(2πx/λ) determina la posición de los nodos, y recibe el nombre de función propia, función característica o eigenfunción de la cuerda.

 Los nodos son aquellos valores de sen(2πx/λ) que hacen Ψ(x) =0. 

Diferenciando (1) con respecto a x a y, z constante

 ∂Ψ(x)/∂x = (A2π/λ) cos(2πx/λ) (2)

 Diferenciando la expresión (2) con respecto a x (y, z constate) 

 ∂²Ψ(x)/∂x² = -(A4π²/λ²) sen(2πx/λ) (3).

 Sustituyendo (1) en (3) 

∂²Ψ(x)/∂x² = -(4π²/λ²)Ψ(x)  (4) 

El módulo de la velocidad es, 

v = √v_x²+v_y²+v_z² = v_x 

En una dirección (v_y = v_z = 0)

 (5) E_c,x = (1/2)mv_x² = (1/2)mv² 

(6) mv = h/λ y v = h/mλ (7) 

Sustituyendo (7) en (6) 

E_c,x = (1/2)h²/mλ² (8) 

λ²=(1/2)h²/mE_c,x (9) 

Sustituyendo (9) en (4) 

∂²Ψ(x)/∂x² = -(8π²mE_c,x/h²)Ψ(x) (10)

 E(x) = E_c,x + V(x) 

y 

E_c,x = E(x) - V(x) (11)

Sustituyendo (11) en (10)

. 

 ∂²Ψ(x)/∂x² = -(8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x)

 y 

∂²Ψ(x)/∂x² + (8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0 (12). 

Haciendo ħ = h/2π

∂²Ψ(x)/∂x² + (2m/ħ²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0 

La ecuación (12) es la ecuación de Schrödinger en una dimensión e independiente del tiempo. 

 En tres dimensiones, la ecuación anterior toma la siguiente forma, 

 ∂²Ψ(x,y,z)/∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z²+ (8π²m/h²)[E(x,y,z) - V(x,y,z)]Ψ(x,y,z) = 0

o

∂²Ψ(x,y,z)/∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z² + (2m/ħ²)[E(x,y,z) - V(x,y,z)]Ψ(x,y,z) = 0

La ecuación anterior está expresada en  coordenadas rectangulares (x,y,z). Para estudiar el comportamiento del átomo de hidrógeno es más conveniente expresarla en términos de coordenadas polares (r,θ,φ). En términos de coordenadas polares, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo toma la siguiente forma. 

∂²Ψ(r,θ,φ)/∂r² + (2/r)[∂Ψ(r,θ,φ)/∂r] + (1/r²)[∂²Ψ(r,θ,φ)/∂θ²] + (cosθ/r²senθ)[∂Ψ(r,θ,φ)/∂φ] + (1/r²sen²θ)[∂²Ψ(r,θ,φ)/∂φ²] + (2m/ħ²)[E(r,θ,φ) - V(r,θ, φ)]Ψ(r,θ,φ) = 0

La solución de la ecuación anterior conduce a una función de onda de la siguiente forma 

Ψ_n,l,ml(r,θ,φ) = R_n,l(r).Θ_l,ml(θ).Φ_ml(φ)

  Valores diferentes de n, l y m_l originan funciones de onda diferentes, que describen estados del sistema diferentes. 

 Para resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es necesario introducir los números cuánticos n, l y m_l, es decir, los números cuánticos se introducen en la mecánica ondulatoria como una consecuencia puramente matemática para resolver la ecuación de Schrödinger, y obtener las expresiones matemáticas para la función radial R_n,l(r) y función angular Y_l,ml(θ,φ)

Posteriormente veremos que se necesita un cuarto número cuántico para explicar el comportamiento del átomo de hidrógeno.

 Resumen de los cuatro números cuánticos.

 Número cuántico principal. 

Se representa por la letra n, puede adquirir los valores de n = 1,2,3,4... e indica el nivel de energía o capa al que pertenece el reempe. 

 Número cuántico azimutual o secundario.

 Se representa por la letra l, puede adquirir los valores l = n-1. 

Para un reempe s, l = 0. 

Para un reempe p, l = 1.

Para un reempe d, l = 2. 

Para un reempe f, l = 3. 

Indica el tipo de reempe, y permite determinar la longitud del vector momento angular para el reempe u orbital. 

 |L| = (h/2π)√l(l+1)

Número cuántico magnético para el momento angular del reempe u orbital.

Se representa por la letra m_l, puede adquirir los valores m_l = 2l +1 o - l... 0...+l, indica la orientación del reempe o momento angular del reempe al ser sometido a la influencia de un campo magnético externo.

 La componente L_z del vector L es 

 L_z= m_lh/2π

 La orientación del vector L al someterlo a un campo magnético externo es 

 cos(θ) = m_l/√l(l +1) = Lz/|L| 

 Número cuántico spin del electrón. 

Se representa con la letra s, puede adquirir el valor de 1/2 y es utilizado para determinar la longitud del vector momento angular del spin del electrón.

 |S| = (h/2π)√s(s +1) 

 Número cuántico magnético para el spin del electrón. 

Se representa por la letra m_s, puede adquirir los valores de +1/2 o - 1/2 e indica el sentido de rotación de un electrón al ser influenciado por un campo magnético externo. La componente S_z del vector S es

 S_z = m_sh/2π 

 La orientación del vector S al someterlo a un campo magnético externo es

 cos(θ) =m_s/√s(s + 1) = S_z/|S| 

 NOTA. 

|L|=√L_x²+L_y²+L_z² y |S|=√S_x²+S_y²+S_z² 

El principio de incertidumbre no permite conocer las tres componentes a un mismo tiempo. Sólo es posible conocer una componente, y por conveniencia se han seleccionado L_z y S_z. 

 

 La función radial al cuadrado R²_n,l(r) permite determinar la probalidad de encontrar a un electrón a cierta distancia del núcleo. Las siguientes gráficas muestran las funciones radiales y las probabilidades de encontrar un electrón como una función de r, respectivamente. 

Funciones radiales

Probabilidades de encontrar al electrón a cierta distancia del núcleo en el átomo de hidrógeno 

 El producto 

Θ_l,ml(θ).Φ_ml(φ) =Y_l,ml(θ,φ)  

 es la parte angular de la función de onda,y se denomina función angular o componente angular de la función de onda. Permite determinar la  parte angular de la función de onda, es decir,  la forma aproximada de un reempe (mal llamado orbital), debido a que no se incluye la parte radial de la onda. También indica la orientación de la onda.

Función angular en tres dimensiones
 y en coordenadas polares

Se utilizan las letras s, p, d y f para las funciones de onda. El uso de estas letras proviene de notaciones espectrales.

s proviene de sharp.
p proviene de principal.
d proviene de diffuse.
f proviene de fundamental.

Por ejemplo, la función de onda para  1s es

  _Ψ1,0,0(θ,φ) = _Ψ1s = (1/aπ³)^1/2e^-r/a

(a es el radio de Bohr) 

Otras funciones de onda son dadas en la siguiente tabla.

Función de onda en el átomo
de hidrógeno 

  Ψ_n,l,ml (r,θ,φ) permite determinar la forma y orientación particular de cada onda o reempe, y se denomina función de onda. 

El cuadrado de la función de onda permite determinar la probabilidad, en diferentes estados del átomo, de encontrar a un electrón en cierta región de espacio y energía.

Ψ²_n,l,ml(r,θ,φ)

En las siguientes figuras, se muestran las gráficas de los reempes, es decir, las gráficas de Ψ²_n,l,ml(r,θ,φ) en coordenadas polares. 

Reempes en el átomo de hidrógeno 

Las zonas más brillantes indican la probabilidad máxima de encontrar a un electrón.

Las teorías de Heisenberg y Schrödinger nos hacen cambiar el concepto de órbita del electrón, que proviene de los modelos atómicos de Nagaoka, Rutherford, Bohr y Sommerfeld, por el de reempe, es decir, el electrón no se desenvuelve en órbitas fijas sino en una región espacio energética de manifestación probabilística electrónica, y que abreviamos reempe.  El principio de incertidumbre de Heisenberg nos sugirió la imposibilidad experimental de determinar la posición de un electrón dentro de una órbita. La mecánica ondulatoria basa su modelo del átomo en ondas de probabilidades. Estas ondas de probabilidades son regiones de espacio energético donde existen las máximas probabilidades de que actúe el electrón. Es decir, el modelo atómico de Schrödinger es probabilistico, describe la probabilidad de que un suceso dado acontezca en un momento determinado, sin especificar cuándo ocurrirá. La ecuación de Schrödinger es una ecuación no relativista que permite explicar muy aceptablemente el espectro del átomo de hidrógeno. La ecuación de Schrödinger no incluye el momento angular del spin de un electrón, lo cual es requerido para explicar el espectro del átomo de hidrógeno bajo la influencia de un campo magnético externo. 

  Pauli (1925) generalizó ligeramente la ecuación de Schrödinger al introducir en ella términos que predecían correctamente el efecto del espín; la ecuación resultante es la ecuación de Pauli. De acuerdo con el principio de Pauli, la función de onda total  debe ser antisimétrica en el intercambio de cualquier par de electrones. En otras palabras, dos electrones en un átomo no pueden tener sus cuatro números de cuánticos iguales. Por ejemplo, si dos electrones poseen los mismos valores para n, l, m_l, el número cuántico magnético para el spin del electrón m_s debe ser diferente.

Al incluir el spin en la función de onda, la función de onda para el átomo de hidrógeno depende de cuatro variables

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).ψ_ms

ψ_ms puede ser función de spin alfa o función de spin beta dependiendo si m_s = 1/2 o m_s = -1/2, respectivamente. Por tanto, m_s produce dos estados posibles, 

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).α 

o

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).β

Por ejemplo, para la función de onda 1s en el átomo de hidrógeno hay dos funciones de onda posibles. 

 Ψ_1s = (1/πa³)^1/2e^-r/a.α

 y 

 Ψ_1s = (1/πa³)^1/2e^-r/a.β

 alfa y beta son las funciones del spin. 

Alfa significa  que m_s vale 1/2 y beta que m_s vale - 1/2. 

Funciones de spin se llaman spin-orbital.

Posteriormente, Paul Dirac en 1930, proporcionó la llamada ecuación de Dirac que  incorporó en la ecuación de Schrödinger el momento angular para el espín de un electrón y los efectos relativistas.

Modelos atómicos. Parte II

MODELOS ATÓMICOS. PARTE II

En 1913, Niels Bohr, con el objeto de explicar el espectro del átomo de hidrógeno, propuso los siguientes postulados para el modelo atómico del átomo de hidrógeno.

1.El electrón gira en órbitas circulares alrededor del núcleo. En este movimiento traslacional, la fuerza centrífuga del electrón es numéricamente igual a la fuerza electrostática que ejerce el núcleo sobre el electrón.

De acuerdo con la ley de Coulomb. 

F_{electrostática} = (1/4πε_o)(e²/r²) 

F_centrífuga = mv²/r

Igualando ambas fuerzas,

a. (1/4πε_o)(e²/r) = mv² 

Resolviendo para r. 

b. r = (1/4πε_o)(e²/mv²)

2.El momento angular del electrón es un múltiplo de h/2π. Es decir, el momento angular del electrón está cuantizado, y  el electrón en una órbita permitida ni absorbe ni desprende energía y tampoco puede estar localizado a una distancia cualquiera del núcleo.

mvr = nh/2π

(n es el nivel de energía y es un número entero, n= 1,2,3...)

De la ecuación anterior obtenemo para el radio de la órbita del átomo de hidrógeno la siguiente expresión. 

c. r = nh/2πmv

Igualando b y c, y resolviendo para v, 

d. v = e²/2nε_oh

Sustituyendo (d) en (c)

e. r = n²ε_oh²/πme²

3.El electrón sólo emite energía cuando salta de un nivel de mayor energía a otro de menor energía. La energía emitida en este salto es la energía de un fotón. Para que un electrón salte a un nivel de mayor energía debe absorber un fotón.

f. E₂ - E₁ = ΔE = hν (ν = frecuencia) 

La energía total de un electrón es la suma de la energía potencial eléctrica y la energía cinética.

E = V + E_c
g. E = -(1/4πε_o)e²/r + (1/2)mv²

El primer término del segundo miembro es la energía potencial eléctrica y el segundo término es la energía cinética.

Sustituyendo la expresión (d) en (g) y operando

E = -e⁴m/8(ε_ohn)²

Asuma el salto de un electrón de la órbita n' hasta la primera órbita n=1. La energía del electrón en el nivel n=1 es

h. E₁ = -e⁴m/8(hε_o)²

y la energía del electrón en el nivel n' es

l. E₂ = -e⁴m/8(n'hε_o)²

Sustituyendo las expresiones (h) y (l) en (f) se obtiene

I. hν = e⁴m/8(hε_o)²(1 - 1/n'²)

La frecuencia es

j. ν = c/λ = cσ  (1/λ = σ) 

(por razones de tipeado utilizamos σ para el símbolo del número de onda)

Sustituyendo j en I,

k. σ = [e⁴m/8h³cε_o²](1 - 1/n'²)

En forma general, para el salto de un electrón en el átomo de hidrógeno desde un nivel n' hasta un nivel n, el número de onda de la línea de emisión se puede calcular mediante la siguiente expresión.

σ = [e⁴m/8h³ε_o²](1/n² -1/n'²)

Sustituyendo valores para e, m, h
,c y ε_o se obtiene el valor de 109.737cm^-1.

 σ = 109.737cm^-1(1/n² -1/n'²)

Mucho antes del modelo de Bohr se sabía que los números de onda de las líneas del espectro de emisión del átomo de hidrógeno se podían describir mediante la siguiente ecuación empírica.

 σ = 109.677,581cm^-1(1/n²-1/n'²)

El valor de 109.677,581cm^-1 era llamado constante de Rydberg.

La concordancia excelente entre el valor experimental de la constante de Rydberg y el valor teórico deducido por Bohr fue un gran éxito del modelo de Bohr. El modelo de Bohr permitió determinar con mucha exactitud la energía de ionización del hidrógeno. La energía de ionización experimental del hidrógenoes 13,60 eV, y el calculado mediante el modelo de Bohr es 13,595 eV. 

El salto cuántico de un electrón desde cualquier nivel de energía hasta el estado final n=1 forma la serie de Lyman, hasta el estado final n=2 forma la serie de Balmer, hasta n=3 forma la serie de Paschen, hasta n=4 forma la serie de Brackett y hasta n=5 forma la serie de Pfund.

Modelo atómico de Bohr

El modelo de Bohr presenta las siguientes ventajas.

1.Predice la mayoría de los números de onda del espectro  átomo de hidrógeno y el de iones con solo un electrón como es el caso de helio(1+).

2.El radio de Bohr se utiliza para obtener las ecuaciones de onda de los reempes (orbitales atómicos). 

3.Combina principios de la física clásica con principios de la mecánica cuántica y mecánica ondulatoria. Bohr consideró que la física clásica posee plena validez en lo macro-físico, pero no en el ámbito átomico. En este sentido, Bohr postuló el principio de correspondencia que significa, para grandes masas o números cuánticos elevados la mecánica clásica y la mecánica cuántica conducen a los mismos resultados. 

4.Predice la energía de ionización del hidrógeno. Se utiliza para determinar la energía de ionización de átomos que han perdido todos sus electrones.

5.El modelo de Bohr pone de manifiesto que las leyes del sistema planetario no son aplicables al átomo.

Las desventajas del modelo de Bohr son:

1.No considera el movimiento de rotación del núcleo. 

2.No explica el espectro de sistemas con más de un electrón. No considera el efecto de apantallamiento de los electrones. 

3.No explica el espectro del hidrógeno al someterlo a un campo magnético. Efecto Zeeman y efecto Zeeman anómalo. 

4.No predice las intensidades de las líneas espectrales. 

5.Para átomos con más de un electrón, el cálculo de las energías de ionización no es satisfactorio. 

6.No da razones sobre el porqué solamente ciertas órbitas y energías son permitidas. 

7.Considera únicamente órbitas circulares. 

8.No explica el mecanismo envuelto en las transiciones electrónicas. 

9.No explica el enlace covalente, no permite interpretar el ferromagnetismo ni la actuación de las fuerzas de Van der Waals.

En 1916, Sommerfeld trató de mejorar el modelo de Bohr, y propuso que los electrones en adición de girar en órbitas circulares también pueden girar en órbitas elípticas. Introduce dos condiciones cuánticas en el segundo postulado de Bohr que conducen a los números cuánticos principal (n)  que determina las órbitas y energías permitidas para los electrones en el modelo de Bohr y el auxiliar o azimutual (k) que determina el tipo de órbita seguida por el electrón. También consideró al electrón como partícula relativista.

Modelo de Sommerfeld 

La introducción de órbitas elípticas permitió explicar el desdoblamiento de la primera línea de Balmer, pero con respecto a otras propiedades del átomo no hizo una contribución más substancial que la de Bohr. 

Para explicar los efectos Zeeman y Zeeman anómalo fue requerido introducir otros dos números cuánticos denominados número cuántico magnético (m) que determina la orientación de la órbita elíptica bajo la influencia de un campo magnético externo y el número cuántico magnético para el spin del electrón (m_s). 

El electrón se considera como una esfera cargada que puede rotar sobre su propio eje. Este movimiento de rotación produce un campo magnético que en conjunto al producido en su movimiento de traslación interactúa con el campo magnético externo provocando dos niveles de energía para el electrón. El nivel de mayor energía se designa por m_s=1/2 y el de menor energía por m_s=-1/2. El número cuántico magnético para el spin del electrón es independiente de los otros números cuánticos.
A pesar de todas estas correcciones, los resultados experimentales pusieron en evidencia la necesidad de revisar los conocimientos científicos tradicionales aplicados al átomo.

Los resultados de esta revisión condujeron a la teoría de  Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1924) sobre el comportamiento dual de la materia, la mecánica cuántica de Werner Karl Heisenberg (1925) y la mecánica ondulatoria de Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1926). El modelo actual del átomo se basa principalmente sobre estas tres teorías.

Einstein había establecido la relación entre masa y energía. 

E = mc²

La energía de un fotón es 

E = hν = hc/λ (ν = c/λ) 

Igualando ambas expresiones. 

mc² = hc/λ y m = h/λc 

o 

λ = h/mc = h/p

de Broglie trasladó la teoría anterior aplicable a la luz a partículas de masa (m) y velocidad (v).

λ = h/mv= h/p 

y 

mv = p = h/λ 

La primera expresión es la longitud de onda de de Broglie. La segunda expresión resalta la dualidad entre materia y onda.

El electrón es una partícula fundamental, pero también se comporta como onda. Las ondas experimentan el fenómeno de difracción. George Paget Thomson (1926)(hijo de J. J. Thomson), Reid (1926) en la Universidad de Aberdeen en Reinos Unidos, Davison y Germer (1927) en los laboratorios Bell en Nueva York demostraron experimentalmente la difracción de los electrones. 

Difracción de electrones

La teoría de de Broglie y el segundo postulado de la teoría de Bohr son congruentes. Por tanto, el segundo postulado de la teoría de Bohr considera el comportamiento dual onda-partícula del electrón. 

El número de ondas contenidos en una órbita circular es

n = 2πr/λ y 

λ = 2πr/n

Por ejemplo, la figura muestra una órbita circular con cuatro ondas. 

Una órbita con cuatroondas

La longitud de onda de de Broglie es   

λ = h/mv

Igualando las dos últimas expresiones  

2πr/n = h/mv y

 mvr = nh/2π

(La expresión anterior corresponde al segundo postulado de Bohr)

Otros experimentos que muestran la validez de la teoría de de Broglie, es decir, el comportamiento onda-partícula de la materia son:

🔹Como onda: dispersión de la luz blanca por un prisma, difracción de rayos X, difracción con neutrones de alta rapidez y la citada difracción de electrones. 

🔹Como partícula: los electrones de los rayos catódicos producen efectos mecánicos y sombra, el efecto fotoeléctrico, el efecto termoiónico y el efecto Compton.

Como se puede apreciar existen abundantes pruebas que confirman la teoría de de Broglie. 

Heisenberg haciendo uso de las teorías de Plank, el comportamiento dual de la materia de de Broglie y álgebra de matrices establece el principio de incertidumbre que explica las razones para no poderse determinar exactamente la cantidad de movimiento transferida a un electrón. Esto significa que si se quiere determinar la localización de un electrón dentro una región Δx se produce automáticamente incertidumbre en la determinación de la cantidad de movimiento del electrón. Heisenberg demostró que si Δp es la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón entonces

Δx.Δp ≥ h/4π

La ecuación anterior es denominada Principio de Incertidumbre de Heisenberg.  

Recordemos que la teoría de Bohr para el átomo de hidrógeno indicaba que el electrón giraba alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r . El principio de incertidumbre expresa que no es posible conocer r sin introducir incertidumbre en el momento angular del electrón. De acuerdo con el principio de incertidumbre, el segundo postulado de la teoría de Bohr no se podría verificar experimentalmente, debido a que si queremos localizar a un electrón a una distancia r del núcleo se debe utilizar luz. El fotón posee cantidad de movimiento (mc = p) durante la colision con el electrón parte de esta cantidad de movimiento es transferida al electrón. Por tanto, en el proceso de determinar la posición del electrón se provoca un cambio en la cantidad de movimiento del electrón. Es decir, en el momento de la observación la cantidad de movimiento del electrón es diferente al que tenía antes de la observación. 

Modelos Atómicos. Parte I

 MODELOS ATÓMICOS. PARTE I

El hombre no ha visto a un átomo, debido a que es demasiado pequeño para poder verse. No obstante, poco a poco, el hombre para tratar de explicar los datos empíricos que se han obtenido en diversos experimentos ha desarrollado diversos modelos atómicos.

Las primeras nociones de los átomos se atribuyen a los filósofos griegos Leucipo y Demócrito 400 años antes de Cristo. Aunque la teoría atómica de Demócrito deriva parcialmente de las ideas de Leucipo, se considera a Demócrito como el verdadero fundador del atomismo. El atomismo considera que la materia puede reducirse finalmente a partículas indivisibles denominadas átomos. Estos átomos estaban indefinidamente en movimiento y sus infinitas combinaciones formaban la verdadera estructura del Universo. Demócrito sostenía que la realidad y la vitalidad de cualquier sustancia residía en sus átomos y que incluso el espíritu estaba formado por átomos.

En 1805, John Dalton creó la teoría atómica, que lleva su nombre, para explicar las leyes ponderales de la química. La teoría atómica de Dalton se basa sobre los siguientes postulados:

1.La materia está formada por esferas macizas indivisibles e indestructibles denominadas átomos. 

2.Los átomos de un mismos elemento son idénticos en propiedades y masa. 

3.Los átomos de diferentes elementos son diferentes en propiedades y masa. 

4.Las reacciones químicas son la combinación de átomos. Los átomos se combinan en proporciones sencillas de masa. 

El modelo atómico de Dalton pudo explicar las leyes ponderales de la química (conservación de las masas, proporciones definidas y proporciones múltiples), las leyes de los gases, las leyes de la teoría cinética del calor y los hechos térmicos que ocurren en los cambios físicos de estado, pero no podía explicar la conducción eléctrica de la materia ni el fenómeno de electrólisis, entre otros. En adición a lo comentado, los tres primeros postulados no son completamente ciertos. La radioactividad ha demostrado que el átomo es divisible y destructible. El descubrimiento de los isótopos, es decir, átomos que poseen la misma masa, pero difieren en sus propiedades, puso de manifiesto la no certeza del segundo postulado. El descubrimiento de los isóbaros, es decir, átomos que poseen la misma masa, pero difieren en sus propiedades, demostró la no certeza del tercer postulado.

Modelo del átomo de Dalton. Esfera maciza

J.J.Thomson en 1899 imaginó al átomo como una esfera de electricidad positiva en la cual sus electrones estaban incrustados como pasas en un pastel, y distribuidos uniformemente en series de capas concéntricas. Las pasas eran los electrones y la esfera de electricidad positiva corresponde al pastel.
Thomson había reconocido las insuficiencias de su modelo atómico. La suposición de una esfera de electricidad positiva no era suficiente para describir al átomo. Pero la presencia de carga positiva era necesaria para neutralizar las cargas negativas. El modelo de Thomson no podía explicar los espectros de emisión, entre otros fenómenos. 
El modelo de Thomson tuvo una vida muy corta, pero permitió explicar la formación de iones, la producción de corriente eléctrica en ciertos procesos químicos, los fenómenos de electrólisis y sugirió la relación entre las propiedades periódicas y el número de electrones presentes en el átomo.

Modelo de Thomson.
Puntos blancos son las pasas.

A Thomson se le debe la determinación de la relación carga/masa de un electrón (e/m).

El tubo de la figura se conoce con el nombre de tubo de Crookes en honor a Sir William Crookes quien en 1874 emprendió el estudio de la conducción eléctrica de los gases a muy bajas presiones.

Experimento de Thomson para determinar e/m de un electrón 

Nota: Los rayos catódicos son invisibles, pero producen fluorescencia al impactar la pantalla, por tanto, las líneas son imaginarias. 

El campo eléctrico provoca que el rayo catódico se desvíe hacia C. El campo magnético hace que el rayo se desvíe hacia A. La influencia simultánea de ambos campos hace que el rayo siga en línea recta e impacta en B. 

El has de electrones es acelerado dentro de dos placas cargadas. El desplazamiento del electrón dentro de las placas es

 (1) L= vt, L es la longitud de las placas, v es la velocidad horizontal del electrón y t es el tiempo del electrón dentro de las placas. 

El desplazamiento vertical del electrón es

 (2) y = (1/2)a_yt²(3) 

La fuerza ejercida sobre el electrón es 

(3) F = ma_y. 

La fuerza debida al campo eléctrico es 

(4) F = Ee, 

E es la intensidad del campo eléctrico y e es la carga de un electrón. 

Igualando (3) y (4), y resolviendo para a_y 

(5) a_y= Ee/m. 

Reemplazando (5) en (2)

(6) y = (1/2)(Ee/m)t². 

De la ecuación (1) 

t = ( L/v), reemplazando t en (6) 

(6') y = (1/2)(EeL²/mv²). 

Para calcular la velocidad, consideramos simultáneamente las fuerzas realizadas por los campos eléctrico y magnético. Las intensidades de ambos campos se ajustan para que las fuerzas de los campos eléctrico y magnético sean iguales.

7. F = Ee

8. F = Bev

(B es la intensidad del campo magnético)

Igualando (7) y (8), 

(8'). Ee=Bev. Resolviendo para v,

9. v=E/B. Reemplazando (9) en (6')

10. y = (1/2)[e(LB)²/mE].

θ es el ángulo que forma la radiación de electrones desviada por el campo eléctrico con la horizontal.

tan θ= BC/(L/2 + r),

r es la distancia entre el final de la placa y la pantalla. BC es la distancia entre el centro de la pantalla (punto B) y la desviación del rayo catódico (punto C). 

Por semejanza de triángulos 

(11) y/(L/2)= BC/(L/2+r). 

Resolviendo para y 

(12) y = BC(L/2)/(L/2+r).

 Igualando (12) y (10), y resolviendo para (e/m).

(13) BC(L/2)/(L/2+r)= (1/2)[e(LB)²/mE]
(14) (e/m) = (EBC)/[(L/2+r)LB²].

Se mide BC. L, r, B y E son conocidas.

El experimento de Thomson dió origen al primer espectrógrafo de masas y al oscilógrafo catódico.

El término electrón no se debe a Thomson sino a Stoney quien en 1874 propuso que la electricidad estaba formada por corpúsculos muy pequeños y todos iguales, a los que denominó electrones.

Perrin en 1901 modificó el modelo atómico de Thomson. Considera que la carga positiva se concentra en el centro y los electrones están incrustados en la periferia.

Modelo de Perrin 

Lenard en 1903 imaginó al átomo compuesto por  pares de cargas positivas y negativas que flotaban. Lenard había bombardeado una chapa muy delgada de aluminio (3μm) con un flujo de electrones (rayos catódicos), y encontró que los electrones pasaban la lámina sin pérdida apreciable de velocidad lo que sugirió que el átomo no era macizo y contenía abundante espacio vacío. 

Modelo de Lenard

La siguiente figura muestra el experimento de Lenard. A es el ánodo y C es cátodo. Al final del tubo puso una tapa MN perforada con un pequeño orificio O. Cubrió el orificio con una lámina de aluminio de 3μm. Una superficie curva entre a-b con una rendija permitía que los rayos catódicos se concentraran sobre la lámina de aluminio y también evitaba la influencia electrostática sobre la lámina de aluminio. A cierta distancia del final del tubo puso una pantalla (P) que produce fluorescencia cuando los electrones impactan la superficie de la misma. Observó que algunos rayos catódicos incidentes sobre la lámina de aluminio pasaban la lámina sin pérdida de velocidad. Los rayos que pasaban la lámina, aunque eran rayos catódicos, fueron denominados rayos Lenard. Los rayos Lenard podían avanzar en el aire 5 cm, penetraban a distintas profundidades diversos cuerpos, producían fluorescencia, eran desvíados por campos eléctricos y magnéticos... 

Experimento de Lenard

Nagaoka en 1904  imaginó al átomo como un anillo de electrones alrededor de un centro muy másico de carga positiva que atraía a los electrones, con la consecuente formación de anillos. Comparó al átomo con el planeta Saturno y sus anillos, que permanecen estables porque el núcleo es bastante másico para mentener los anillos en sus órbitas. 

Modelo de Nagaoka

La siguiente figura muestra el experimento de Rutherford sobre la dispersión de partículas alfa. 

Experimento de Rutherford 

Al bombardear una lámina delgada de oro con radiación alfa (la radiación alfa son núcleos de helio(2+), es decir, poseen carga de 2+ y número másico 4) observó que algunas partículas alfa eran rechazadas por la lámina, otras partículas atravesaban la lámina, pero sufrían desviación y la mayoría de las partículas atravesaban la lámina sin sufrir desviación. Rutherford concluyó que los  rechazos de partículas alfa eran debido a que las partículas alfa impactaban con un centro másico pequeño y de carga positiva (denominado posteriormente núcleo atómico), pero que concentraba la mayor parte de la masa del átomo y toda la carga positiva del átomo. Un electrón es muy pequeño para ejercer atracción sobre la partícula alfa, y el número de partículas alfa desviadas fuertemente era pequeño, po. r tanto, las partículas alfa se desviaban, debido  a que pasaban cerca de una zona con carga eléctrica positiva, que representaba una pequeñísima parte del átomo de oro. Las partículas que atravesaban la lámina sin sufrir desviación  pasaban por una zona vacía. La mayoría de veces las partículas alfa atravesaban la lámina de oro en línea recta lo cual indicaba que la mayor parte del átomo era espacio vacío.

Inicialmente se utilizó oro como blanco, pero el experimento fue repetido con otros metales obteniéndose resultados similares. 

Basado sobre el experimento anterior, Rutherford en 1911 imaginó al átomo formado por un núcleo pequeño cargado positivamente, pero que concentraba la mayor parte de la masa-carga eléctrica positiva del átomo, con una envoltura de electrones en rotación rápida alrededor del núcleo en órbitas no definidas como un sistema solar en miniatura.
Las principales características de este modelo son:
🔹El número de electrones contenidos en la periferia del núcleo es igual al número de cargas positivas contenidas en el núcleo. El átomo es eléctricamente neutro, y posee un solo núcleo. La carga del núcleo es Ze. Z es el número atómico del elemento.
🔹Entre el núcleo y los electrones existe una distancia relativamente grande. El interior del átomo está casi vacío. La mayor masa y toda la carga eléctrica positiva del átomo se concentra en el núcleo.
🔹Entre el núcleo y los electrones existen fuerzas de atracción electrostática. Los electrones no caen en el núcleo, debido a que la fuerza centrífuga compensa la fuerza electrostática ejercida por el núcleo sobre el electrón. Cuanto más cerca esté un electrón del núcleo, mayor debe ser su velocidad para compensar la fuerza de atracción que ejerce el núcleo sobre él.
El modelo de Rutherford introduce el núcleo atómico y rompe con el concepto tradicional que se le había dado al átomo. El átomo deja de ser  indivisible, indestructible y macizo. Este modelo permitió explicar los diferentes estados de agregación de la materia, la elasticidad y compresibilidad de los cuerpos.
El modelo de Rutherford presenta las siguientes dificultades.
🔺Un electrón en movimiento produce un campo magnético en su entorno. El electrón debe perder energía cinética, debido a que la gasta en el trabajo de inducir un campo magnético en su trayectoria y, por tanto, irá perdiendo velocidad hasta caer en el núcleo. En consecuencia, el átomo no puede funcionar como un sistema solar en miniatura.
🔺No podía explicar hechos experimentales relacionados con los espectros de emisión de los átomos. 

Modelo de Rutherford 

Goldstein (1886) había observado en sus experimentos sobre los rayos canales (rayos anódicos o positivos) que se producían iones hidrógeno (H⁺) cuando se utilizaba hidrógeno en el tubo de descarga. Los iones ¹H⁺ son protones. También Wien (1898)  demostró que se obtenía una partícula cargada positivamente cuando se desprende un electrón del átomo de hidrógeno. Sin embargo, el descubrimiento del protón se le atribuye a Rutherford al bombardear nitrógeno con partículas alfa.

¹⁴₇N + α →¹₁p + ¹⁷₈O. 

Esta reacción de acuerdo con la notación de Bothe se escribe como ¹⁴N(α,p)¹⁷O.

Soluciones

LAS SOLUCIONES.

Las soluciones poseen las siguientes características.

1.Son materiales homogéneos a simple vista y en un microscopio de alta resolución.

2.El diámetro de las partículas es comparable a los diámetro de los átomos, moléculas e iones, es decir, alrededor de 5 nm y, por tanto, no presentan el efecto Tyndall, debido a que las partículas de una solución no reflejan la luz.

3.Las soluciones filtran, no sedimentan y dializan.

4.Los componentes de una solución son el soluto o los solutos y un disolvente. El soluto o los sólutos son los componentes que se disuelven. El componente que disuelve se llama solvente o disolvente. Las proporciones de estos componentes se pueden variar hasta ciertos límites.

5.Cualquier porción de la solución posee la misma concentración y las mismas propiedades físicas y químicas.

6. Las propiedades de la solución dependen de su concentración.

7.Los componentes de una solución no se pueden separar mediante procedimientos mecánicos como, por ejemplo, filtración, sedimentación y centrifugación. Los componentes de la solución se pueden separar mediante procedimientos físicos como, por ejemplo, evaporación, destilación, cromatografía, electrólisis... También se pueden utilizar métodos químicos como la precipitación con reactivos...

8.Las soluciones pueden existir en los estados sólido, líquido y gaseoso. Las aleaciones, la solución de alcohol isopropílico y el aire son ejemplos de soluciones sólida, líquida y gaseosa, respectivamente.

9. En una disolución, puede haber desprendimiento o absorción de calor. El calor desprendido o absorbido por mol de soluto se denomina calor molar de solución.

10.Las soluciones se consideran cambios físicos, debido a que en un gran número de situaciones no hay reacción entre soluto y solvente. Sin embargo, en las disociaciones en medio acuoso de ácidos débiles y fuertes, bases débiles y fuertes y sales que hidrolizan ocurren reacciones de intercambio de protones entre el soluto y el solvente. Por ejemplo,

CH₃COOH +H₂O = CH₃COO^-+H₃O⁺

NH₃+H₂O = NH₄OH

CH₃COONa+H₂O = CH₃COOH+Na⁺+HO^-

HCl+H₂O→Cl^-+H₃O⁺

Recuerde que de acuerdo con las normas de la I.U.P.A.C. de 2005, podemos escribir al ion hidróxido como OH^- o HO^-

Dependiendo de los estados físicos del soluto y del solvente las soluciones se caracterizan de la siguiente manera:

◾Gas en gas. El soluto es gas y el solvente también. Ejemplo, todas las mezclas gaseosas se consideran soluciones.
◾Gas en Líquido. El soluto es un gas y el solvente es un líquido. Por ejemplo, dióxido de carbono disuelto en agua.
◾Gas en sólido. Un gas disuelto en un sólido. Por ejemplo, hidrógeno en paladio H₂/Pd.
◾Líquido en gas. No forman una solución, pero si forman un coloide (aerosol líquido).
◾Líquido en líquido. Un líquido disuelto en otro líquido. Ejemplo, etanol disuelto en agua.
◾Líquido en sólido. Un líquido disuelto en un sólido. Ejemplo, Amalgamas.
◾Sólido en gas. No forman solución, pero forman un coloide denominado aerosol sólido.
◾Sólido en líquido. Un sólido disuelto en un líquido. Ejemplo, azúcar en agua.
◾Sólido en sólido. Un sólido disuelto en otro sólido. Ejemplo, el acero y otras aleaciones.
◾Las soluciones pueden ser iónicas o moleculares. En una solución iónica el soluto está disociado en sus iones constituyentes. Ejemplo, NaCl en agua. En una solución molecular, el soluto se encuentra en forma molecular. Por ejemplo, azúcar en agua.

Unidades para expresar la concentración de las soluciones.
La concentración de una solución se puede expresar en términos cualitativos y en términos cuantitativos.

🔺TÉRMINOS CUALITATIVOS

Los términos cualitativos hacen referencia a la solubilidad del soluto. La solubilidad es la cantidad máxima de soluto que se puede disolver en 100 g de solvente a una temperatura dada. Las solubilidades de sólidos y líquidos dependen de la temperatura, y hay que especificar la temperatura al reportar las solubilidades de  sólidos y líquidos. Las solubilidades de los gases dependen de la temperatura y de la presión, y ambas magnitudes deben ser especificadas al reportar las solubilidades de los gases. Si la cantidad de soluto disuelto, a una temperatura dada, es menor que la solubilidad a esa temperatura, la solución es insaturada, es decir, en una solución insaturada el disolvente puede admitir más cantidad de soluto a la temperatura dada. Dentro de las soluciones insaturadas se utilizan los términos de solución diluida y solución concentrada. La solución es diluida si la cantidad de soluto es muy pequeña con respecto a la cantidad de solvente. La solución es concentrada si contiene una gran cantidad de soluto con respecto a la cantidad de solvente, pero sin llegar a la saturación. Si la cantidad de soluto disuelto, a una temperatura dada, es igual a la solubilidad del soluto a la temperatura dada, la solución es saturada, es decir, el solvente no admite más cantidad de soluto a la temperatura dada. Por tanto, una solución saturado es la solución que está en equilibrio con el precipitado. Para preparar una solución saturada, a una temperatura dada, añadimos soluto hasta que se forme un precipitado, la solución que está encima del precipitado es saturada a la temperatura dada. Una disolución sobresaturada contiene, a una temperatura dada, mayor cantidad de soluto disuelto del que determina la solubilidad a esa temperatura.  Para preparar una solución sobresaturada preparamos, a una temperatura dada, una solución saturada como fue indicado anteriormente, calentamos y agitamos hasta disolver el precipitado y posteriormente enfriamos hasta la temperatura inicial o temperatura donde comenzó el calentamiento.  Si no se vuelve a formar precipitado, la solución resultante está sobresaturada a la temperatura inicial dada. La solución sobresaturada se encuentra en un estado meta estable, y cualquier movimiento o cambio de temperatura exterior puede provocar la precipitación del soluto. Por evaporación o adición de cristales puede producirse una cristalización.
En biología, se utilizan los términos de solución hipotónica, solución hipertónica y solución isotónica. Una solución es hipotónica cuando su presión osmótica es menor que la presión osmótica de otra solución tomada como referencia, es decir, la solución es hipotónica con respecto a otra más concentrada. Por ejemplo, si se sumerge una célula en una solución hipotónica con respecto al líquido intracelular, habrá flujo de agua a través de la membrana celular desde la solución hacia el interior de la célula y la célula se hincha. La solución es hipertónica cuando su presión osmótica es mayor que la presión osmótica de otra solución tomada como referencia, es decir, la solución es hipertónica con respecto a otra más diluida. Si se sumerge la célula en una solución hipertónica con respecto al líquido intracelular, fluye agua del interior de la célula hacia la solución y la célula se contrae. Dos soluciones son isotónicas si poseen igual presión osmótica, es decir, ambas poseen igual concentración. En esta última situación, no hay modificación del volumen celular.

🔺TÉRMINOS CUANTITATIVOS

En términos cuantitativos, las soluciones se expresan en unidades físicas y en unidades químicas.

UNIDADES FÍSICAS DE CONCENTRACIÓN

Las unidades físicas de concentración no dependen de la naturaleza del soluto y solvente, pero dependen de las proporciones del soluto y la solución, es decir, de la fracción masa del soluto en la solución (w = m_soluto /m_solución), de la fracción volumen del soluto en la solución (φ = V_soluto /V_solución) y de la densidad de concentración del soluto en la solución (ρ_c = m_soluto /V_solución). Por tanto, las unidades físicas de concentración se expresan en %masa/masa (%m/m), %masa/volumen (%m/V), %volumen/volumen (%V/V), partes por millón (ppm) y partes por billón (ppb)

El porcentaje masa/masa se a la fracción masa del soluto multiplicada por 100, es decir, la masa de soluto presente en 100 g de solución.

El porcentaje masa /volumen es la densidad de concentración multiplicada por 100, es decir, masa de soluto presente en 100 mL de solución.

El porcentaje volumen/volumen es la fracción de volumen multiplicada por 100, es decir, volumen de soluto presentes en 100 mL.
Para soluciones muy diluidas y a temperaturas donde la densidad del agua es 1 g/mL, podemos definir las partes por millón y las partes por billón como ppm ~ mg de soluto/L de solución y ppb ~ microgramos de soluto/L de solución. 
En realidad, las ppm y las ppb son relaciones de masa. Por ejemplo, ppm = (mg de soluto/mg de solución)x10⁶. 

UNIDADES QUÍMICAS DE CONCENTRACIÓN

Las unidades químicas dependen de la naturaleza del soluto. Por ejemplo, si disolvemos las mismas masas de NaCl (cloruro de sodio) y KBr (bromuro de potasio) en el mismo volumen de solución, ambas soluciones poseen diferentes unidades químicas de concentración, pero iguales unidades físicas de concentración.
La I.U.P.A.C recomienda las siguientes unidades de concentración.

🔺Concentración. 
🔺Molalidad. 
🔺Fracción molar.

En química analítica,  se utilizan unidades como formalidad o concentración analítica, molaridad, normalidad y título. La I.U.P.A.C. no recomienda el uso de los términos  normalidad, molaridad y formalidad. Según la I.U.P.A.C expresar concentraciones como 0,5M, 2N, 0,1F...es incorrecto, debido a que M, N o F no son unidades. Aunque estas denominaciones han perdido popularidad siguen apareciendo en los textos de química general y química analítica.

La concentración es el número de moles de soluto contenidos en el volumen de solución expresado en m³. Se representa por la letra c minúscula.

c = n_s /V(m³)

n_s es el número de moles y V es el volumenen m³.

La molalidad (m) es el número de moles de soluto presentes en la masa del solvente expresada en kg.

m = n_s /m_solvente(kg)

La fracción molar (x_s) se refiere a moles de soluto contenidos en moles de solución.

x_s = n_s/(n_s+n_d)

n_s se refiere a mol de soluto.
n_d se refiere a mol de solvente

La molaridad (M) se refiere a moles de soluto contenidos en el volumen de solución expresado en litros, y se acostumbra el uso de la letra M para representarla.

 M = n_s /V(L)

La normalidad (N) se refiere al número de equivalentes de soluto presentes en el volumen de solución expresado en litros.

N = n_equivalentes /V(L)

El volumen depende de la temperatura y, por tanto, al reportar un valor de concentración, molaridad, formalidad o normalidad se debe especificar la temperatura. 
El problema con la normalidad es que requiere el conocimiento de la masa equivalente del soluto, y la masa equivalente depende del estado de oxidación de la especie bajo consideración y, por tanto, una misma sustancia puede poseer diferentes masas equivalentes. Por ejemplo, en el HNO₃ libre, la masa equivalente es la masa molar del ácido dividida entre el número de átomos de hidrógeno, es decir,  63 g/equivalente. Si el HNO₃ reacciona con cobre, se puede formar NO. En esta situación, el nitrógeno cambia su estado de oxidación desde 5+ en HNO₃ a 2+ en NO (gana 3 electrones) y la masa equivalente del HNO₃ es 63/3 =21g/eq. La I.U.P.A.C no acepta que una variable sea utilizada como patrón. Sin embargo, en algunos casos, el uso de la normalidad facilita los cálculos, y algunos textos siguen utilizando la normalidad.

La concentración analítica se refiere a la suma de todas las concentraciones de iones y moléculas que derivan de una misma especie. Por ejemplo, considere el ácido acético. El ácido acético en solución se disocia en iones acetato e iones oxonio (las recomendaciones de la I.U.P.A.C. del 2005 consideran el nombre de hidronio obsoleto, y no se debe utilizar). 

CH₃COOH + H₂O = CH₃COO^- + H₃O⁺

la concentración analítica del CH₃COOH es,

C_a = F =[CH₃COOH] + [CH₃COO^- ]. 

El corchete indica concentración en mol/L, mol/m³ o mol/dm³. 

La formalidad o concentración formal se refiere a la concentración analítica. La formalidad suministra información acerca de cómo la solución fue preparada inicialmente, pero no implica necesariamente lo que le ocurre al soluto después de ser disuelto. La molaridad se refiere, específicamente, a las concentraciones de equilibrio de las moléculas e iones presentes en la solución después de disolver el soluto. Por tanto, formalidad y molaridad no son necesariamente dos términos sinónimos. Por ejemplo, una solución 1F de ácido  acético, debido a su disocian, posee al alcanzarse el equilibrio iónico una molaridad menor a 1F. 

[CH₃COOH] = 1F - [CH₃COO^-]. 

A pesar de lo comentado algunos autores no establecen diferencias entre molaridad y formalidad.

El título es la masa de soluto por mL de solución o la masa de reactivo que reacciona con el soluto contenido en un mL de solución. Por ejemplo, 4,7500 mg de hierro(2+) son oxidados a hierro(3+) por 1,0000 mL de solución de KMNO₄. Por tanto 4,7500 mg de hierro(2+)~1,0000 mL de KMNO₄.