MODELOS ATÓMICOS. PARTE II
Fcentrífuga = mv2/r
Igualando ambas fuerzas,
a. (1/4πεo)(e2/r) = mv2
b. r = (1/4πεo)(e2/mv2)
2.El momento angular del electrón es un múltiplo de h/2π. Es decir, el momento angular del electrón está cuantizado, y el electrón en una órbita permitida ni absorbe ni desprende energía y tampoco puede estar localizado a una distancia cualquiera del núcleo.
mvr = nh/2π
De la ecuación anterior obtenemo para el radio de la órbita del átomo de hidrógeno la siguiente expresión.
c. r = nh/2πmv
Igualando b y c, y resolviendo para v,
d. v = e2/2nεoh
Sustituyendo (d) en (c)
e. r = n2εoh2/πme2
3.El electrón sólo emite energía cuando salta de un nivel de mayor energía a otro de menor energía. La energía emitida en este salto es la energía de un fotón. Para que un electrón salte a un nivel de mayor energía debe absorber un fotón.
f. E2 - E1 = ΔE = hν (ν = frecuencia)
La energía total de un electrón es la suma de la energía potencial eléctrica y la energía cinética.
E = V + Ec
g. E = -(1/4πεo)e2/r + (1/2)mv2
El primer término del segundo miembro es la energía potencial eléctrica y el segundo término es la energía cinética.
Sustituyendo la expresión (d) en (g) y operando
E = -e4m/8(εohn)2
Asuma el salto de un electrón de la órbita n' hasta la primera órbita n=1. La energía del electrón en el nivel n=1 es
h. E1 = -e4m/8(hεo)2
y la energía del electrón en el nivel n' es
l. E2 = -e4m/8(n'hεo)2
Sustituyendo las expresiones (h) y (l) en (f) se obtiene
I. hν = e4m/8(hεo)2(1 - 1/n'2)
La frecuencia es
j. ν = c/λ = cσ (
En forma general, para el salto de un electrón en el átomo de hidrógeno desde un nivel n' hasta un nivel n, el número de onda de la línea de emisión se puede calcular mediante la siguiente expresión.
σ = [e4m/8h3εo2](1/n2 -1/n'2)
Sustituyendo valores para e, m, h
,c y εo se obtiene el valor de 109.737cm-1.
Mucho antes del modelo de Bohr se sabía que los números de onda de las líneas del espectro de emisión del átomo de hidrógeno se podían describir mediante la siguiente ecuación empírica.
La concordancia excelente entre el valor experimental de la constante de Rydberg y el valor teórico deducido por Bohr fue un gran éxito del modelo de Bohr. El modelo de Bohr permitió determinar con mucha exactitud la energía de ionización del hidrógeno. La energía de ionización experimental del hidrógenoes 13,60 eV, y el calculado mediante el modelo de Bohr es 13,595 eV.
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| Modelo atómico de Bohr |
1.Predice la mayoría de los números de onda del espectro átomo de hidrógeno y el de iones con solo un electrón como es el caso de helio(1+).
2.El radio de Bohr se utiliza para obtener las ecuaciones de onda de los reempes (orbitales atómicos).
3.Combina principios de la física clásica con principios de la mecánica cuántica y mecánica ondulatoria. Bohr consideró que la física clásica posee plena validez en lo macro-físico, pero no en el ámbito átomico. En este sentido, Bohr postuló el principio de correspondencia que significa, para grandes masas o números cuánticos elevados la mecánica clásica y la mecánica cuántica conducen a los mismos resultados.
4.Predice la energía de ionización del hidrógeno. Se utiliza para determinar la energía de ionización de átomos que han perdido todos sus electrones.
5.El modelo de Bohr pone de manifiesto que las leyes del sistema planetario no son aplicables al átomo.
Las desventajas del modelo de Bohr son:
1.No considera el movimiento de rotación del núcleo.
2.No explica el espectro de sistemas con más de un electrón. No considera el efecto de apantallamiento de los electrones.
3.No explica el espectro del hidrógeno al someterlo a un campo magnético. Efecto Zeeman y efecto Zeeman anómalo.
4.No predice las intensidades de las líneas espectrales.
5.Para átomos con más de un electrón, el cálculo de las energías de ionización no es satisfactorio.
6.No da razones sobre el porqué solamente ciertas órbitas y energías son permitidas.
7.Considera únicamente órbitas circulares.
8.No explica el mecanismo envuelto en las transiciones electrónicas.
9.No explica el enlace covalente, no permite interpretar el ferromagnetismo ni la actuación de las fuerzas de Van der Waals.
En 1916, Sommerfeld trató de mejorar el modelo de Bohr, y propuso que los electrones en adición de girar en órbitas circulares también pueden girar en órbitas elípticas. Introduce dos condiciones cuánticas en el segundo postulado de Bohr que conducen a los números cuánticos principal (n) que determina las órbitas y energías permitidas para los electrones en el modelo de Bohr y el auxiliar o azimutual (k) que determina el tipo de órbita seguida por el electrón. También consideró al electrón como partícula relativista.
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| Modelo de Sommerfeld |
La introducción de órbitas elípticas permitió explicar el desdoblamiento de la primera línea de Balmer, pero con respecto a otras propiedades del átomo no hizo una contribución más substancial que la de Bohr. |
Para explicar los efectos Zeeman y Zeeman anómalo fue requerido introducir otros dos números cuánticos denominados número cuántico magnético (m) que determina la orientación de la órbita elíptica bajo la influencia de un campo magnético externo y el número cuántico magnético para el spin del electrón (ms).
El electrón se considera como una esfera cargada que puede rotar sobre su propio eje. Este movimiento de rotación produce un campo magnético que en conjunto al producido en su movimiento de traslación interactúa con el campo magnético externo provocando dos niveles de energía para el electrón. El nivel de mayor energía se designa por ms=1/2 y el de menor energía por ms=-1/2. El número cuántico magnético para el spin del electrón es independiente de los otros números cuánticos.
A pesar de todas estas correcciones, los resultados experimentales pusieron en evidencia la necesidad de revisar los conocimientos científicos tradicionales aplicados al átomo.
Los resultados de esta revisión condujeron a la teoría de Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1924) sobre el comportamiento dual de la materia, la mecánica cuántica de Werner Karl Heisenberg (1925) y la mecánica ondulatoria de Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1926). El modelo actual del átomo se basa principalmente sobre estas tres teorías.
Einstein había establecido la relación entre masa y energía.
E = mc2
La energía de un fotón es
E = hν = hc/λ (ν = c/λ)
Igualando ambas expresiones.
mc2 = hc/λ y m = h/λc
o
λ = h/mc = h/p
de Broglie trasladó la teoría anterior aplicable a la luz a partículas de masa (m) y velocidad (v).
λ = h/mv= h/p
y
mv = p = h/λ
La primera expresión es la longitud de onda de de Broglie. La segunda expresión resalta la dualidad entre materia y onda.
El electrón es una partícula fundamental, pero también se comporta como onda. Las ondas experimentan el fenómeno de difracción. George Paget Thomson (1926)(hijo de J. J. Thomson), Reid (1926) en la Universidad de Aberdeen en Reinos Unidos, Davison y Germer (1927) en los laboratorios Bell en Nueva York demostraron experimentalmente la difracción de los electrones.
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| Difracción de electrones |
La teoría de de Broglie y el segundo postulado de la teoría de Bohr son congruentes. Por tanto, el segundo postulado de la teoría de Bohr considera el comportamiento dual onda-partícula del electrón.
El número de ondas contenidos en una órbita circular es
n = 2πr/λ y
λ = 2πr/n
Por ejemplo, la figura muestra una órbita circular con cuatro ondas.
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| Una órbita con cuatroondas |
La longitud de onda de de Broglie es
λ = h/mv
Igualando las dos últimas expresiones
2πr/n = h/mv y
mvr = nh/2π
(La expresión anterior corresponde al segundo postulado de Bohr)
Otros experimentos que muestran la validez de la teoría de de Broglie, es decir, el comportamiento onda-partícula de la materia son:
🔹Como onda: dispersión de la luz blanca por un prisma, difracción de rayos X, difracción con neutrones de alta rapidez y la citada difracción de electrones.
🔹Como partícula: los electrones de los rayos catódicos producen efectos mecánicos y sombra, el efecto fotoeléctrico, el efecto termoiónico y el efecto Compton.
Como se puede apreciar existen abundantes pruebas que confirman la teoría de de Broglie.
Heisenberg haciendo uso de las teorías de Plank, el comportamiento dual de la materia de de Broglie y álgebra de matrices establece el principio de incertidumbre que explica las razones para no poderse determinar exactamente la cantidad de movimiento transferida a un electrón. Esto significa que si se quiere determinar la localización de un electrón dentro una región Δx se produce automáticamente incertidumbre en la determinación de la cantidad de movimiento del electrón. Heisenberg demostró que si Δp es la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón entonces
Δx.Δp ≥ h/4π
La ecuación anterior es denominada Principio de Incertidumbre de Heisenberg.
Recordemos que la teoría de Bohr para el átomo de hidrógeno indicaba que el electrón giraba alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r . El principio de incertidumbre expresa que no es posible conocer r sin introducir incertidumbre en el momento angular del electrón. De acuerdo con el principio de incertidumbre, el segundo postulado de la teoría de Bohr no se podría verificar experimentalmente, debido a que si queremos localizar a un electrón a una distancia r del núcleo se debe utilizar luz. El fotón posee cantidad de movimiento (mc = p) durante la colision con el electrón parte de esta cantidad de movimiento es transferida al electrón. Por tanto, en el proceso de determinar la posición del electrón se provoca un cambio en la cantidad de movimiento del electrón. Es decir, en el momento de la observación la cantidad de movimiento del electrón es diferente al que tenía antes de la observación.
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