Modelos atómicos. Parte III

 MODELOS ATÓMICOS. PARTE III

Habíamos comentado que Bohr combinó principios de la física clásica con principios de la  mecánica cuántica para sugerir que solamente estados con ciertos valores especiales de energía son estables. Sugirió que el momento angular del electrón en un estado permitido debe ser un múltiplo entero de h/2π. 

 La teoría de de Broglie sirvió de inspiración a Schrödinger para crear la mecánica ondulatoria. Schrödinger sugirió que el movimiento de los electrones en el átomo correspondía a la dualidad onda-partícula, y unifica el comportamiento corpuscular y ondulatorio de la materia. Propone dos ecuaciones diferenciales parciales no relativistas denominadas ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. 

 La primera ecuación fue desarrollada primero que la segunda, y relaciona la función de onda, con la energías total y potencial de la partícula, la masa y la variación de la función de onda con la posición. 

Las energía potencial V(x,y,z), la energía total E(x,y,z), la variación de la función de onda con la posición  ∂²Ψ(x,y,z) /∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z² y la función de onda Ψ(x,y,z) dependen de las coordenadas, pero son independientes del tiempo. 

La ecuaciónn de Schrödinger independiente del tiempo en una dirección (dirección x) toma la siguiente forma. 

 ∂²Ψ(x)/∂x² + (8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0

Haciendo ħ = h/2π

∂²Ψ(x)/∂x² + (2m/ħ²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0

El significado físico Ψ(x) no es claro. Schrödinger interpretó el término eΨ(x).Ψ*(x) dx (e es la carga fundamental) como la cantidad de carga entre x y x + dx. Max Born interpretó Ψ(x).Ψ*(x) o Ψ²(x) como la probabilidad de que una partícula esté localizada entre x y x + dx (Ψ*(x) es el conjugado de Ψ(x)). En la actualidad, se acepta el punto de vista dado por Born. 

La ecuación se aplica a problemas de una dimensión como, por ejemplo, partículas confinadas a moverse en una caja, partícula en un anillo, oscilador armónico... También se aplica a problemas de tres dimensiones como, por ejemplo, particulas moviéndose en una caja tridimensional, momento angular, átomo de hidrógeno, rotador rígido, entre otros. 

La segunda ecuación de Schrödinger se conoce como la ecuación fundamental de la mecánica ondulatoria, y relaciona la función de onda Ψ(x,y,z,t) dependiente de posición y tiempo con la energía potencial dependiente de posición y tiempo V(x,y,z,t)  y la variación de la función de onda con la posición y el tiempo ∂Ψ(x,y,z,t)/∂t. Posee una parte imaginaria. 

Mediante operaciones matemáticas apropiadas la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo conduce a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. 

La siguiente ecuación corresponde a la ecuación de Schrödinger en una dirección y dependiente del tiempo. 

 -(h²/8π²m)[∂²Ψ(x,t)/∂x²] +V(x,t)Ψ(x,t) = - (h/2πi)∂Ψ(x,t)/∂t 

Haciendo ħ = h/2π

-(ħ²/2m)[∂²Ψ(x,t)/∂x²] +V(x,t)Ψ(x,t) = - (ħ/i)∂Ψ(x,t)/∂t 

 

 En la misma época, Heisenberg, Born y Jordan utilizando álgebra de matrices crearon la mecánica cuántica. La mecánica ondulatoria y la mecánica cuántica son matematicamente equivalentes.

Podemos obtener la ecuación de Schrödinger en una dirección e independiente del tiempo operando de la siguiente manera. 

 Una cuerda con movimiento vibratorio armónico simple en una dirección presenta la siguiente ecuación de onda. 

 Ψ(x) = Asen(2πx/λ) (1) 

A es la amplitud de la onda. 

sen(2πx/λ) determina la posición de los nodos, y recibe el nombre de función propia, función característica o eigenfunción de la cuerda.

 Los nodos son aquellos valores de sen(2πx/λ) que hacen Ψ(x) =0. 

Diferenciando (1) con respecto a x a y, z constante

 ∂Ψ(x)/∂x = (A2π/λ) cos(2πx/λ) (2)

 Diferenciando la expresión (2) con respecto a x (y, z constate) 

 ∂²Ψ(x)/∂x² = -(A4π²/λ²) sen(2πx/λ) (3).

 Sustituyendo (1) en (3) 

∂²Ψ(x)/∂x² = -(4π²/λ²)Ψ(x)  (4) 

El módulo de la velocidad es, 

v = √v_x²+v_y²+v_z² = v_x 

En una dirección (v_y = v_z = 0)

 (5) E_c,x = (1/2)mv_x² = (1/2)mv² 

(6) mv = h/λ y v = h/mλ (7) 

Sustituyendo (7) en (6) 

E_c,x = (1/2)h²/mλ² (8) 

λ²=(1/2)h²/mE_c,x (9) 

Sustituyendo (9) en (4) 

∂²Ψ(x)/∂x² = -(8π²mE_c,x/h²)Ψ(x) (10)

 E(x) = E_c,x + V(x) 

y 

E_c,x = E(x) - V(x) (11)

Sustituyendo (11) en (10)

. 

 ∂²Ψ(x)/∂x² = -(8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x)

 y 

∂²Ψ(x)/∂x² + (8π²m/h²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0 (12). 

Haciendo ħ = h/2π

∂²Ψ(x)/∂x² + (2m/ħ²)[E(x) - V(x)]Ψ(x) = 0 

La ecuación (12) es la ecuación de Schrödinger en una dimensión e independiente del tiempo. 

 En tres dimensiones, la ecuación anterior toma la siguiente forma, 

 ∂²Ψ(x,y,z)/∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z²+ (8π²m/h²)[E(x,y,z) - V(x,y,z)]Ψ(x,y,z) = 0

o

∂²Ψ(x,y,z)/∂x² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂y² + ∂²Ψ(x,y,z)/∂z² + (2m/ħ²)[E(x,y,z) - V(x,y,z)]Ψ(x,y,z) = 0

La ecuación anterior está expresada en  coordenadas rectangulares (x,y,z). Para estudiar el comportamiento del átomo de hidrógeno es más conveniente expresarla en términos de coordenadas polares (r,θ,φ). En términos de coordenadas polares, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo toma la siguiente forma. 

∂²Ψ(r,θ,φ)/∂r² + (2/r)[∂Ψ(r,θ,φ)/∂r] + (1/r²)[∂²Ψ(r,θ,φ)/∂θ²] + (cosθ/r²senθ)[∂Ψ(r,θ,φ)/∂φ] + (1/r²sen²θ)[∂²Ψ(r,θ,φ)/∂φ²] + (2m/ħ²)[E(r,θ,φ) - V(r,θ, φ)]Ψ(r,θ,φ) = 0

La solución de la ecuación anterior conduce a una función de onda de la siguiente forma 

Ψ_n,l,ml(r,θ,φ) = R_n,l(r).Θ_l,ml(θ).Φ_ml(φ)

  Valores diferentes de n, l y m_l originan funciones de onda diferentes, que describen estados del sistema diferentes. 

 Para resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es necesario introducir los números cuánticos n, l y m_l, es decir, los números cuánticos se introducen en la mecánica ondulatoria como una consecuencia puramente matemática para resolver la ecuación de Schrödinger, y obtener las expresiones matemáticas para la función radial R_n,l(r) y función angular Y_l,ml(θ,φ)

Posteriormente veremos que se necesita un cuarto número cuántico para explicar el comportamiento del átomo de hidrógeno.

 Resumen de los cuatro números cuánticos.

 Número cuántico principal. 

Se representa por la letra n, puede adquirir los valores de n = 1,2,3,4... e indica el nivel de energía o capa al que pertenece el reempe. 

 Número cuántico azimutual o secundario.

 Se representa por la letra l, puede adquirir los valores l = n-1. 

Para un reempe s, l = 0. 

Para un reempe p, l = 1.

Para un reempe d, l = 2. 

Para un reempe f, l = 3. 

Indica el tipo de reempe, y permite determinar la longitud del vector momento angular para el reempe u orbital. 

 |L| = (h/2π)√l(l+1)

Número cuántico magnético para el momento angular del reempe u orbital.

Se representa por la letra m_l, puede adquirir los valores m_l = 2l +1 o - l... 0...+l, indica la orientación del reempe o momento angular del reempe al ser sometido a la influencia de un campo magnético externo.

 La componente L_z del vector L es 

 L_z= m_lh/2π

 La orientación del vector L al someterlo a un campo magnético externo es 

 cos(θ) = m_l/√l(l +1) = Lz/|L| 

 Número cuántico spin del electrón. 

Se representa con la letra s, puede adquirir el valor de 1/2 y es utilizado para determinar la longitud del vector momento angular del spin del electrón.

 |S| = (h/2π)√s(s +1) 

 Número cuántico magnético para el spin del electrón. 

Se representa por la letra m_s, puede adquirir los valores de +1/2 o - 1/2 e indica el sentido de rotación de un electrón al ser influenciado por un campo magnético externo. La componente S_z del vector S es

 S_z = m_sh/2π 

 La orientación del vector S al someterlo a un campo magnético externo es

 cos(θ) =m_s/√s(s + 1) = S_z/|S| 

 NOTA. 

|L|=√L_x²+L_y²+L_z² y |S|=√S_x²+S_y²+S_z² 

El principio de incertidumbre no permite conocer las tres componentes a un mismo tiempo. Sólo es posible conocer una componente, y por conveniencia se han seleccionado L_z y S_z. 

 

 La función radial al cuadrado R²_n,l(r) permite determinar la probalidad de encontrar a un electrón a cierta distancia del núcleo. Las siguientes gráficas muestran las funciones radiales y las probabilidades de encontrar un electrón como una función de r, respectivamente. 

Funciones radiales

Probabilidades de encontrar al electrón a cierta distancia del núcleo en el átomo de hidrógeno 

 El producto 

Θ_l,ml(θ).Φ_ml(φ) =Y_l,ml(θ,φ)  

 es la parte angular de la función de onda,y se denomina función angular o componente angular de la función de onda. Permite determinar la  parte angular de la función de onda, es decir,  la forma aproximada de un reempe (mal llamado orbital), debido a que no se incluye la parte radial de la onda. También indica la orientación de la onda.

Función angular en tres dimensiones
 y en coordenadas polares

Se utilizan las letras s, p, d y f para las funciones de onda. El uso de estas letras proviene de notaciones espectrales.

s proviene de sharp.
p proviene de principal.
d proviene de diffuse.
f proviene de fundamental.

Por ejemplo, la función de onda para  1s es

  _Ψ1,0,0(θ,φ) = _Ψ1s = (1/aπ³)^1/2e^-r/a

(a es el radio de Bohr) 

Otras funciones de onda son dadas en la siguiente tabla.

Función de onda en el átomo
de hidrógeno 

  Ψ_n,l,ml (r,θ,φ) permite determinar la forma y orientación particular de cada onda o reempe, y se denomina función de onda. 

El cuadrado de la función de onda permite determinar la probabilidad, en diferentes estados del átomo, de encontrar a un electrón en cierta región de espacio y energía.

Ψ²_n,l,ml(r,θ,φ)

En las siguientes figuras, se muestran las gráficas de los reempes, es decir, las gráficas de Ψ²_n,l,ml(r,θ,φ) en coordenadas polares. 

Reempes en el átomo de hidrógeno 

Las zonas más brillantes indican la probabilidad máxima de encontrar a un electrón.

Las teorías de Heisenberg y Schrödinger nos hacen cambiar el concepto de órbita del electrón, que proviene de los modelos atómicos de Nagaoka, Rutherford, Bohr y Sommerfeld, por el de reempe, es decir, el electrón no se desenvuelve en órbitas fijas sino en una región espacio energética de manifestación probabilística electrónica, y que abreviamos reempe.  El principio de incertidumbre de Heisenberg nos sugirió la imposibilidad experimental de determinar la posición de un electrón dentro de una órbita. La mecánica ondulatoria basa su modelo del átomo en ondas de probabilidades. Estas ondas de probabilidades son regiones de espacio energético donde existen las máximas probabilidades de que actúe el electrón. Es decir, el modelo atómico de Schrödinger es probabilistico, describe la probabilidad de que un suceso dado acontezca en un momento determinado, sin especificar cuándo ocurrirá. La ecuación de Schrödinger es una ecuación no relativista que permite explicar muy aceptablemente el espectro del átomo de hidrógeno. La ecuación de Schrödinger no incluye el momento angular del spin de un electrón, lo cual es requerido para explicar el espectro del átomo de hidrógeno bajo la influencia de un campo magnético externo. 

  Pauli (1925) generalizó ligeramente la ecuación de Schrödinger al introducir en ella términos que predecían correctamente el efecto del espín; la ecuación resultante es la ecuación de Pauli. De acuerdo con el principio de Pauli, la función de onda total  debe ser antisimétrica en el intercambio de cualquier par de electrones. En otras palabras, dos electrones en un átomo no pueden tener sus cuatro números de cuánticos iguales. Por ejemplo, si dos electrones poseen los mismos valores para n, l, m_l, el número cuántico magnético para el spin del electrón m_s debe ser diferente.

Al incluir el spin en la función de onda, la función de onda para el átomo de hidrógeno depende de cuatro variables

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).ψ_ms

ψ_ms puede ser función de spin alfa o función de spin beta dependiendo si m_s = 1/2 o m_s = -1/2, respectivamente. Por tanto, m_s produce dos estados posibles, 

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).α 

o

Ψ_n,l,ml,ms(r,θ,φ) = Ψ_n,l,ml(r,θ,φ).β

Por ejemplo, para la función de onda 1s en el átomo de hidrógeno hay dos funciones de onda posibles. 

 Ψ_1s = (1/πa³)^1/2e^-r/a.α

 y 

 Ψ_1s = (1/πa³)^1/2e^-r/a.β

 alfa y beta son las funciones del spin. 

Alfa significa  que m_s vale 1/2 y beta que m_s vale - 1/2. 

Funciones de spin se llaman spin-orbital.

Posteriormente, Paul Dirac en 1930, proporcionó la llamada ecuación de Dirac que  incorporó en la ecuación de Schrödinger el momento angular para el espín de un electrón y los efectos relativistas.